[2508.18503] सुसंगत इमेजिंग में अनुमान समस्याओं का मिनिमैक्स विश्लेषण

हाओ जिंग और 2 अन्य लेखकों द्वारा सुसंगत इमेजिंग में अनुमान समस्याओं का मिनिमैक्स विश्लेषण शीर्षक वाले पेपर का एक पीडीएफ देखें।

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अमूर्त:चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग जैसे पारंपरिक इमेजिंग तौर-तरीकों के विपरीत, जिन्हें अक्सर एक रैखिक प्रतिगमन ढांचे द्वारा अच्छी तरह से वर्णित किया जाता है, सुसंगत इमेजिंग सिस्टम काफी अधिक जटिल मॉडल का पालन करते हैं। इन प्रणालियों में, कार्य अज्ञात छवि का अनुमान लगाना है ${\boldsymbol x}_o \in \mathbb{R}^n$ ${\boldsymbol y}_1, \ldots, {\boldsymbol y}_L \in \mathbb{R}^m$ फॉर्म के अवलोकनों से।[ {\boldsymbol y}_l = A_l X_o {\boldsymbol w}_l + {\boldsymbol z}_l, \quad l = 1, \ldots, L, \] जहां $X_o = \mathrm{diag}({\boldsymbol x}_o)$ एक $n \times n$ विकर्ण मैट्रिक्स है, ${\boldsymbol w}_1, \ldots, {\boldsymbol w}_L \stackrel{\text{iid}}{\sim} \mathcal{N}(0,I_n)$ धब्बेदार शोर का प्रतिनिधित्व करता है, और ${\boldsymbol z}_1, \ldots, {\boldsymbol z}_L \stackrel{\text{iid}}{\sim} \mathcal{N}(0,\sigma_z^2 I_m)$ योगात्मक शोर को दर्शाता है। मैट्रिक्स $A_1, \ldots, A_L$ इमेजिंग सिस्टम द्वारा निर्धारित फॉरवर्ड ऑपरेटर्स हैं।

पारंपरिक इमेजिंग प्रणालियों की मूलभूत सीमाओं का विरल रैखिक प्रतिगमन मॉडल के माध्यम से बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है। हालाँकि, सुसंगत इमेजिंग सिस्टम की सीमाएँ काफी हद तक अज्ञात हैं। हमारा लक्ष्य उच्च-आयामी सेटिंग्स में ${\boldsymbol x}_o$ का अनुमान लगाने के न्यूनतम जोखिम को चिह्नित करके इस अंतर को बंद करना है।

विरल प्रतिगमन से अंतर्दृष्टि से प्रेरित होकर, हम देखते हैं कि ${\boldsymbol x}_o$ की संरचना अनुमान त्रुटि निर्धारित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। इस कार्य में, हम कवरिंग संख्याओं के आधार पर संरचना की एक सामान्य धारणा को अपनाते हैं, जो सुसंगत इमेजिंग सिस्टम के लिए अधिक उपयुक्त है। हम दिखाते हैं कि मिनिमैक्स माध्य वर्ग त्रुटि (MSE) स्केल \ के रूप में है[ \frac{\max\{\sigma_z^4,\, m^2,\, n^2\}\, k \log n}{m^2 n L}, \] जहां $k$ एक पैरामीटर है जो छवियों के वर्ग की प्रभावी जटिलता को मापता है।